等距离正轴圆柱投影和等角正轴圆柱投影间的直接变换
1 引 言 等距离正轴圆柱投影和等角正轴圆柱投影是测量、地图制图和地理信息系统（GIS）中常用的两类地图投影，实际生产中经常会遇到两者之间的变换问题。总的看来，解决这一问题的方法主要有解析法[1-2]和数值法[3-4]，其中解析法最为常用。根据研究思路...
- 作者：李厚朴，边少锋来源：2014测绘学|2015年03月02日
1 引 言
等距离正轴圆柱投影和等角正轴圆柱投影是测量、地图制图和地理信息系统（GIS）中常用的两类地图投影，实际生产中经常会遇到两者之间的变换问题。总的看来，解决这一问题的方法主要有解析法[1-2]和数值法[3-4]，其中解析法最为常用。根据研究思路的不同，解析法又可分为正解变换法和反解变换法[5]。正解变换法建立了两种投影坐标之间的一一映射，给出了它们之间的直接解析式，，对计算机辅助制图来说，这种表示最为方便，但由于推导中涉及到非常复杂的数学运算，建立两投影间的直接关系式并非易事。目前，椭球情形下等距离投影和等角投影间的变换主要采用反解变换法，即根据原有地图投影方程，反解出原地图投影点的地理坐标，之后代入新投影中求得该点在新投影下的直角坐标。这种方法虽然容易理解，但计算过程相当复杂，在处理海量数据的变换时效率不高，特别是未能建立两种投影坐标间的直接关系式，难以表达编图和制图的数学实质。
等距离纬度、等量纬度是等距离正轴圆柱投影和等角正轴圆柱投影中的两类重要纬度，它们之间的变换是实现两类投影变换的关键。如果能够得到等距离纬度和等量纬度变换的直接展开式，那么将可以建立两类投影坐标间的直接解析式，从而简化计算过程，提高计算效率。国内外地图投影学者对等距离纬度、等量纬度和大地纬度间的正反算问题进行了深入研究，取得了一批显著的成果[5-14]，而对于等距离纬度和等量纬度间的变换，主要是通过解算大地纬度间接实现的，导致无法建立两类投影坐标间的直接解析式。有鉴于此，为实现等距离正轴圆柱投影和等角正轴圆锥投影间的直接变换，本文深入研究了等距离纬度和等量纬度间的变换问题，借助具有强大符号运算功能的计算机代数系统Mathematica[15]，推导出了等距离纬度和等量纬度间变换的直接展开式，在此基础上建立了椭球情形下等距离正轴圆柱投影和等角正轴圆柱投影间的直接变换模型。
2.1等距离纬度正反解展开式
设椭球长半径为
，偏心率为
，椭球面上由赤道至大地纬度
处的子午线弧长
为[5]：
（1）
将被积函数展开并逐项积分，略去具体的运算步骤，经整理后得到：
（2）
式中系数为：
（3）
等距离纬度
由下式确定[7]：
（4）
由文献[]知，等距离纬度的正解展开式为：
（5）
式中系数为：
（6）
等距离纬度的反解展开式为：
（7）
式中系数为：
（8）
2.2 等量纬度正反解展开式
由地图投影理论知，等量纬度与大地纬度之间的关系式为[5]：
如果令偏心率
，则椭球变为球，
变为等角纬度
，即：
（10）
（11）
由上式可解得等角纬度
与大地纬度
的显式关系式为：
由于偏心率
很小，使用中常将上式展成
的幂级数形式，由文献[12]知，展至
项的表达式为：
式中系数为：
（14）
等量纬度反解展开式为：
（15）
式中系数为：
3.1 等距离纬度变换至等量纬度的直接展开式
当已知等距离纬度
时，将其代入式（7）可得大地纬度
，将
代入式（13）可得等角纬度
，将
代入式（10）可得等量纬度
，完整的计算公式为：
（17）
式（17）虽然直观、容易理解，但需要经过三步计算方可完成变换，较为复杂，因此有必要导出更为实用的直接展开式。从理论上讲，可将式中的变量
和
消去，得到等距离纬度
计算等量纬度
的直接展开式。但是，该过程人工推导起来极其繁琐，甚至不可能实现。本文借助Mathematica强大的符号运算能力，成功地解决了这一难题。在
处将
展开为
的幂级数形式，取至
项，略去Mathematica中的主要推导过程，整理后可得：
（18）
式中系数为：
（19）
3.2 等量纬度变换至等距离纬度的直接展开式
当已知等量纬度
时，将其代入式（15）可得大地纬度
，将
代入式（5）可得等距离纬度
，完整的计算公式为：
（20）
在处将
展开为
的幂级数形式，取至
项，略去Mathematica中的主要推导过程，整理后可得：
（21）
式中系数为：
（22）
等距离正圆柱投影的坐标公式为：
（23）
式中
为经差，
，
为基准纬度。
等角正圆柱投影的坐标公式为：
（24）
根据式（4），等距离正圆柱投影的坐标公式可采用等距离纬度
表示：
（25）
由式（25）第一式可反解出等距离纬度
，将其代入式（18）后可得等量纬度
，将
代入式（24），可得等距离正圆柱投影直接变换至等角正圆柱投影的公式为：
（26）
由式（24）第一式可反解出等量纬度
，将其代入式（21）后可得等距离纬度
，将
代入式（25），可得等角正圆柱投影直接变换至等距离正圆柱投影的公式为：
5 结 论
为实现等距离正轴圆柱投影和等角正轴圆柱投影间的直接变换，本文借助计算机代数系统Mathematica推导出了等距离纬度和等量纬度变换的直接展开式，将其系数统一表示为参考椭球偏心率的幂级数形式，以此为基础，建立了等距离正圆柱投影和等角正圆柱投影的直接变换模型，从而简化了投影变换过程。本文导出公式同样可以解决两种投影性质下圆锥投影间的变换以及圆锥投影与圆柱投影间的变换问题。
参考文献
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