1 引言

遥感影像分类及分类后处理是遥感影像处理技术的基本问题，而遥感影像特征建模和分析在影像信息提取中扮演着重要的角色。高分辨率遥感影像不仅具有丰富的光谱特征，还随着分辨率的提高，具有纹理特征，几何特征，许多研究者从这些特征入手，对高分辨率遥感影像分割进行了研究。

Contourlet变换是Minh.N和Martin Vetterli在2002年提出的一种新的多尺度几何分析工具[1,2]，在影像变换分析中，由于小波分析并不能充分利用数据本身特有的几何特性，并不是最优的和“最稀疏”的函数表示方法，因而多尺度几何分析方法被提出，Contourlet变换是其中的典型代表。由于Contourlet变换能够有效地进行纹理特征分析以及几何特征分析，而被用于图像的边缘检测以及进一步进行影像分割，目前，Contourlet变换在遥感影像方面的研究主要集中在图像融合、去噪、分类、压缩和检索等方面[3-7]。本文研究了Contourlet变换的原理，并将其运用到高分辨率遥感影像重构以及影像特征建模中，通过分析比较Contourlet在影像变换中的特点，并依此提取得影像特征信息，最后将提取的特征应用于高分辨率遥感影像分割。

2 Contourlet变换原理

Do和Vetterli提出的Contourlet变换也称为塔形方向滤波器组（pyramid directional filter bank，PDFB）。Contourlet变换的基的支撑区间具有随尺度而长宽比变化的“长条形结构”。其实现可以看成是两个步骤：拉普拉斯金字塔（Laplacian pyramid，LP）分解和方向性滤波器组（directional filter bank，DFB），合成变换的过程正好相反。

图像的拉普拉斯金字塔分解是由Burt P.J 和Adelsin E.H 提出，能够将图像分解成不同空间分辨率，不同尺度的子图像[8]。而方向滤波的核心内容是方向滤波器组的设计，Bamberger和Smith在1992年提出了两维菱形的方向滤波器组[9]（directional filter bank，DFB），通过l级二叉树分解，将频谱划分成2l个楔形频率子带，获取不同方向子带的细节（高频）信息。

图1表示的是Contourlet图像分解的基本原理图，对于每一层分解，将图像分为高频和低频信息，然后进一步的继续对低频信息进行塔式分解。

图1 利用裁剪后的子带系数重构所得影像[10]

3 Contourlet变换对高分遥感影像的重构

本文以Orbview2获取的分辨率为0.5米的高分遥感影像为实验数据，大小为512×512，使用Contourlet变换对影像进行重构实验分析，主要包括：（1）分析Contourlet变换的系数特点，并利用一定数量的Contourlet变换的显著系数对高分遥感影像进行重构实验。（2）比较不同分解层数、不同分解方向数数目对高分遥感影像重构结果的影响。（3）比较Contourlet与小波在图像描述方向特征的不同。

图2 利用裁剪后的子带系数重构所得影像

图2 是Contourlet变换共做4层分解，金字塔滤波器为‘9-7’，方向组滤波器为‘pkva’，分解得到第1层是8个方向高频子带，第2层4个方向高频子带，第3层4个方向的高频子带，第4层是低频子带影像。利用其中1.5%个显著点的系数值，即显著性系数来进行图像的重构实验。其中，1.5%的显著性系数指的是子带系数中绝对值排在前1.5%的系数值。

图3~图5分别表示的是不同分解Contourlet层数、不同分别方向数目，以及与小波变换对比的影像重构结果的影响。对于不同的分解层数（此处是3层和5层），每层的方向数目都为8个方向，使用的金字塔滤波器组为‘9-7’，方向组滤波器组为‘pkva’。重构影像使用的显著系数的个数为4000个，分别占不同分解层数的所有子带系数总个数的1%~1.5%。对于不同的方向数目，则采用第1层高频的分解系数进行重构实验对比，方向数分别为8和32个。在与小波分解对比中，选用同样的滤波器，小波选用的滤波器是‘9-7’，Contourlet变换选用的金字塔分解滤波器和方向组滤波器都是‘9-7’，分解层数是2，选用了128个显著系数进行重构实验。

图3不同分解层数影像重构结果（3层和5层）

图4 不同分解方向数的影像重构结果（8方向和32方向）

图5 小波重构与Contourlet重构对比（显著性系数128）

由以上结果可得到以下结论：

（1）在使用同样数目的显著性系数情况下，Contourlet分解层数越多，分解方向数越多，重构的结果越接近于原始影像，能更好地描述影像信息。

（2）小波系数获得的是单个点构成的特征，而Contourlet变换是条状的多方向的特征，能够描述更好地描述特征。

4 基于Contourlet变换的影像特征建模

本文主要采用提取子带的能量特征作为特征向量的分量。采用Contourlet变换对图像进行多分辨率多方向分解。

为了避免分解所得的各像素之间的能量特征过大，最终可以对所得的特征向量进行归一化处理，对于像素(i,j)的特征向量的第k个特征分量feature(i,j,k)归一化公式如下式[10]：

  （1）

    常用的特征提取方法主要包括基于能量子带的特征建模和基于方差或标准差的子带特征建模。

4.1 基于能量子带的特征建模

该方法是计算所得所有子带的能量测度，包括一个低频子带和每个尺度上的所有高频方向子带。特征向量的维数由分解层数和每层的分解个数确定。每个子带的能量测度为子带系数的数学期望：

  （2）

如上式，其中，子带大小为，为子带中位置的系数值。

4.2 基于方差或标准差的子带特征提取

各子带系数的方差或标准差，也可构成一组特征向量，维数同分解到的子带个数，标准差具体计算公式如下式：

     （3）

4.3 基于高斯混合模型的子带特征提取

高斯模型是用正态分布曲线（高斯概率密度函数）来描述事物，而高斯混合模型就是用若干个高斯模型通过线性组合来描述精确量化事物。理论证明：用足够多的高斯分布，调整其期望和协方差矩阵，以及线性组合的系数，就可以精确的表述任何连续分布。

设x是d维特征向量，高斯混合模型即是用M个高斯密度函数的线性组合来表示x，则其概率密度函数为下式：

（4）

其中表示第k个高斯分布的混合密度模型的混合比例，有：

    （5）

是第k个高斯分布的概率密度函数。高斯混合模型的参数计算采用最大期望算法，即EM算法来求解。

在一幅512×512的高分影像中取一定大小的窗口进行Contourlet变换得到不同尺度下的子带，图6是大小为128×128的影像，通过分解来分析所得子带系数特征。金字塔分解滤波器选用'9-7'，方向组滤波器选用'pkva'，分解层数分别为16、8、4层。

图6大小为128×128影像

图7 高斯混合分解结果图（分别是第3、2、1层分解结果）

如图7表示的对不同层的Contourlet变换得到的高频信息的高斯混合分解结果，折线是未归化到0~255之间的原始子带系数统计频率，两条平滑线是分解所得的两个高斯分布的状态密度曲线，同样可以看出低频部分子带系数统计频率分布没有一定规律，而高频子带的系数统计频率图是接近对称的，且均值基本都在0附近。可以看出高斯混合分解能够很好的对高频信息进行描述。

进一步的，对于不同的移动窗口，其中心像素得到的高斯高斯分解结果存在不同，分别采用64×64，32×32，以及16×16窗口大小的分解，每层分解方向数目都为8层，得到图7结果，可以看出，窗口越小，不同频率的像素就越少，即不同种类的地物就越少，因而对GMM分解的结果就会产生影响，因而在高分影像的特征提取以及高分影像分割中，移动窗口的选择对结果有很大的影响。

图8 不同移动窗口的高斯混合分解结果（64×64，32×32，16×16）

5 基于Contourlet变换的影像分割

首先需要构成特征向量，此处使用两种，一种是基于能量的子带特征，另一种是基于标准差的子带特征。

影像分割方法采用模糊C均值方法[12]。其主要原理见下式[12]：

（6）

移动窗口大小为32×32和16×16， Contourlet变换使用的金字塔滤波器是‘9-7’，方向滤波器是‘pkva’，每层使用的分解方向数目分别是8个方向。

图 9 图像分割试验数据及单个像素灰度特征的分割结果

同样来自Orbview2获取的高分影像，分辨率为0.5米，见图9中左图，图中主要有道理，河流，不同的植被，因而将影像分割成四类做实验分析。图9右侧是基于单个像素灰度特征的影像分割结果，采用的分割方法同样是模糊C均值方法。

图10和图11分别表示的是移动窗口分别为32×32和16×16的分割结果，其中左图使用的是子带均值构成特征向量，右图使用的是子带方差构建的特征向量。

图10 移动窗口32×32的Contourlet变换影像分割

图11 移动窗口16×16的Contourlet变换影像分割

由以上分析得到可以得到以下结论：

（1）利用Contourlet变换得到的影像分割结果相对于单个像素灰度特征的分割更加连续；

（2）同时移动窗口小的得到的分解结果要更优，同时以子带方差表述的影像特征比以子带均值的结果要好。

6 总结与展望

本文研究了Contourlet变换的原理，并通过高分辨率遥感影像的重构实验，研究了Contourlet变换在图像描述方面的特点，比较了不同Contourlet分解层数和不同方向分解数对影像重构结果的影响。并与小波重构进行了比较，表明了Contourlet在影像描述中的优越性。进一步的，在进行影像分解获取子带的基础上，对子带统计频率图进行了分析，并采用高斯混合模型分析了高分影像的子带直方图特征，指出了高分影像特征向量的构建方法。最后，对高分辨率遥感影像，构建其影像特征，利用模糊C均值方法，比较了不同移动窗口大小不同特征向量构建方法对影像分割的影响。

本文还存在以下需要进一步研究的内容：（1）本文只考虑了单个波段的高分遥感影像特征，而遥感影像还具有多光谱的性质，可考虑多个波段的影像特征；（2）高分影像具有灰度特征，纹理特征，以及空间结构等特征，本文采用基于信号分析的方法，主要借用了纹理特征的描述方式对高分影像进行特征建模，可进一步结合灰度特征，空间结构等来进行特征建模与提取。（3）影像分割试验采用的是经典FCM算法，需要采用更多的分割方法进行研究。（4）小波变换或Contourlet变换所获的特征是从分解所得的子带建立特征取得的，为了更多地利用子带特征，可以研究基于子带图像匹配的方法来建立特征向量，如以子带直方图为特征，使用直方图匹配等方法进行相似度的量化，同时本文的进一步工作是利用高斯混合模型提取的特征向量，建立合适的特征度量，来进行影像分割。

参考文献

[1] Do M N, Vetterli M. The contourlet transform: an efficient directional multiresolution image representation[J]. Image Processing, IEEE Transactions on, 2005, 14(12): 2091-2106.

[2] Do M N, Vetterli M. Contourlets: a directional multiresolution image representation[C]. IEEE, 2002.

[3] 陆丽珍. 基于多通道Gabor纹理特征的遥感影像图像检索[J]. 浙江大学学报（理学版）, 2004, 31(6): 708-711.

[4] 毕玲. 小波聚类算法的研究及应用[D]. 大连: 大连理工大学, 2006.

[5] 郝玉保，王仁礼，顾立娟. 基于Contourlet旋转不变特征的遥感图像检索[J]. 中国图象图形学报, 2010, 15(4): 670-676.

[6] 杨阳，彭玉华，刘云霞，等. 基于方向滤波器组的无冗余拉普拉斯金字塔框架设计[J]. 电子学报, 2009, 37(5): 1046-1050.

[7] 戴维，于盛林，孙栓. 基于Contourlet变换自适应阈值的图像去噪算法[J]. 电子学报, 2007, 35(10): 1939-1943.

[8] Burt P, Adelson E. The Laplacian pyramid as a compact image code[J]. Communications, IEEE Transactions on, 1983, 31(4): 532-540.

[9] 林立宇，张友焱，孙涛，等. Contourlet变换—影像处理应用[M]. 北京: 科学出版社, 2008.

[10] Bamberger R H, Smith M J T. A filter bank for the directional decomposition of images: Theory and design[J]. Signal Processing, IEEE Transactions on, 1992, 40(4): 882-893.

[11] 宫志华. 基于超完备Contourlet的纹理图像分割[D]. 西安: 西安电子科技大学, 2010.

[12] 高新波. 模糊聚类分析及其应用[M]. 西安: 西安电子科技大学出版社, 2004.

作者简介：

詹勇（1987-），男，汉，江苏南京人，工程师，硕士，研究方向：空间数据挖掘，3S技术集成。

马红（1987-），女，汉，四川资阳人，工程师，硕士，研究方向：遥感影像处理及应用，大规模航空遥感产业应用。