引言

高层建筑物的变形监测分析与预报对确保建筑物的安全极为重要。由于变形体变形机理的复杂性和多样性，研究的理论和方法很多，在趋势性变形和小子样监测离散数列方面，灰色理论的数学方法得到了较好应用。

灰色建模预测是灰色理论的重要组成部分，其应用最广的是邓聚龙教授提出的GM（1，1）模型。由于创建GM（1，1）模型的前提条件是建模所用的数据序列必须满足等时距（等距或等间隔）的要求。而在变形监测领域，一般都存在非等间距的监测数列问题。将非等间距数列作等间距处理后再使用GM（1，1）模型，这样处理的结果并不一定符合实际情况，表现出较大的近似性。本文将从GM（1，1）模型建模的基本原理出发，通过对非等间距数列作适当变换处理，从而建立非等间距GM（1，1）模型。由于电厂建筑物中的烟囱、冷却塔、锅炉房等都属于高层建筑物，其沉降变化一般具有趋势性变形和小子样离散数列的特点，所以结合一个电厂建筑物的沉降监测资料运用非等间距GM（1，1）模型进行分析，并与多元线性回归模型预测比较，结果表明非等间距GM（1，1）模型具有较高的预测精度。

1 GM（1，1）模型建模机理

1.1 GM（1，1）灰色建模的基本思路

设有原始数据序列

  （1）

其中，n为数列长度，>0,k=1,2,…,n。

对作一次累加生成（1—AGO），得到新数列

 

    （2）

的GM（1，1）模型白化形式的微分方程为

   （3）

其中，a ,u为待定参数。a为发展系数，反映和的发展态势，u为灰色作用量，它反映数据变化的关系。根据发展系数a的值可确定预测模型的合理应用范围。

若令=(a ,u),且

B=,    Y= 

则（3）式可改化为  Y=B   (4)

应用最小二乘求解，有

= (BB) BY       （5）

则，对应GM（1，1）灰色微分方程的时间响应数列为

  （6）

对作累减生成，可得其还原值

  （7）

综上所述，沉降监测中灰色建模的基本思路可概括为：

1）对离散的带有随机性的数据序列进行累加处理，达到弱化随机性、增强规律性的作用；

2）然后对新数列建立具有微分、差分、近似指数规律兼容的灰色模型；

3）建模后经过累减还原后得到结果数据。

1.2 GM（1，1）模型精度检验

建模的主要目的在于预测，为了评价预测精度和效果，有必要对所建模精度进行检验。其基本过程如下：

1）计算残差

  （8）

2）计算原始数列和残差数列的方差

 (9)

其中，=，=。

3）计算后验差比值c和小误差概率p，即

  （10）

4）模型精度评定

把上述c、p计算值与标准值（表1）进行对比，若不合格，则需要通过建立残差GM（1，1）模型进行修正，即对建立GM（1，1）模型。设经其建模后所得的还原值为，则观测值的估值

   （11）

经改正后，若还不满足精度要求，则再进行残差修正，直到满足精度要求为止。

表1 模型精度评定标准

模型精度等级	后验差比值p	小误差概率c
1级（好）	>0.95	<0.35
2级（合格）	0.80～0.95	0.35～0.50
3级（勉强）	0.70～0.80	0.50～0.65
4级（不合格）	<0.70	>0.65

2 非等间距数列的建模

GM（1，1）模型是以等间距数列为基础的，但在实际电厂建筑物的沉降监测中，时间间隔往往并不是那么规则，而是呈现出非等间隔的状态。这时，需要把非等间隔数列转化为等间隔数列，再进行一次累加生成处理，进而建立GM（1，1）模型。

设有非等时间间隔数列，其具体建模步骤如下：

1）计算各观测周期距首次周期的时间间隔

 （下同）   （12）

这里，是各期的原始观测时间。

2）求平均时间间隔

    （13）

3）求各期的时距与平均时距的单位时间差系数

    （14）

4）求各期的总差值

   （15）

式中，是对应的的原始观测值。

5)计算等间隔点的灰数值：

   （16）

于是得到等间隔序列

  （17）

6)对作一次累加生成（1—AGO），得

    （18）

7）视拟合成一阶线性微分方程，即

    （19）

8）按最小二乘法，由（4）、（5）式求解上式的待定参数=(a ,u)，得其时间响应函数

   （20）

9）还原为非等间隔数列中的与时间t有关的函数（这里t为距首次周期的时间间隔）

          

    （21）

这样，将预测时间t代入上式，即可求得预测值，其预测结果及模型精度检验方法与前述的常规GM（1，1）模型相同。

 

3 实例分析

某大型电厂烟囱建筑高度为240米，为确保安全，在建筑物施工之初布设了4个沉降监测点，分别进行不同时间间隔的沉降观测。表2为其某一沉降监测点的部分观测数据。按照上述非等间隔数列的灰色预测建模，具体分析如下：

表2 某沉降点观测资料

序号	观测时间	时间间隔（d）	累积时间间隔（d）	累积沉降量（mm）
1	2012-10-21	0	0	1.01
2	2012-11-7	17	17	1.34
3	2012-11-23	16	33	1.83
4	2012-12-6	13	46	1.99
5	2012-12-20	14	60	2.42
6	2013-1-4	15	75	2.83
7	2013-1-18	14	89	3.11
8	2013-2-28	41	130	3.86

下面利用非等间隔灰色GM（1，1）模型对以上数据进行预测分析。由式（12）—（18）分别计算建模需要的各项参数，计算结果列入表3中。

表3 非等间隔灰色模型参数计算表

序号						()
1	1.01	0	0	0	1.01	1.01
2	1.34	17	-0.0846	-0.0279	1.3679	2.3779
3	1.83	33	-0.2231	-0.1093	1.9393	4.3172
4	1.99	46	-0.5231	-0.0837	2.0737	6.3909
5	2.42	60	-0.7692	-0.3308	2.7508	9.1417
6	2.83	75	-0.9615	-0.3942	3.2242	12.3659
7	3.11	89	-1.2077	-0.3382	3.4482	15.8141
8	3.86	130	0	0	3.8600	19.6741
=18.57

 

建立GM（1，1）模型，其中

根据表3的参数可计算参数向量：

= (a, u)= (BB) BY=

则时间响应函数，即GM（1，1）模型为：

根据点观测资料建立的灰色预测模型计算出不同观测时段累计沉降预测值，并将实测所得观测值与预测值进行比较，计算结果列于表4中。

表4 灰色GM（1，1）模型预测值与实测值的比较

序号	观测时间	累积时间间隔（d）	实测值 （mm）	预测值 （mm）	残差 （mm）	相对误差 （%）
1	2012-10-21	0	1.01	1.01	0
2	2012-11-7	17	1.34	1.6034	-0.2634	-19.65
3	2012-11-23	33	1.83	1.8270	-0.0030	0.16
4	2012-12-6	46	1.99	2.0315	-0.0415	-2.08
5	2012-12-20	60	2.42	2.2773	0.1427	5.89
6	2013-1-4	75	2.83	2.5739	0.2561	9.05
7	2013-1-18	89	3.11	2.8854	0.2246	7.22
8	2013-2-28	130	3.86	4.0320	-0.1720	-4.45
9	2013-3-13	144	4.28	4.5199	-0.2399	-5.61
10	2013-3-28	159	4.58	5.1085	-0.5285	-11.54
C=0.1805      P=1

由上表计算结果可得其后验方差比C=0.1805,小误差概率P=1，模型精度为一级，可见利用非等间隔灰色GM（1，1）模型对上述数据进行预测有很好的预测精度。

 

4 同多元线性回归模型预测结果比较

多元线性回归方程的建立

其中，表示变形体某个点的变形量，，，，为变形因子系数，为变形因子，如时间、温度、荷载等观测量。其基本思想是通过最小二乘原理，来求解变形因子系数的估值，使全部观测值与回归值的残差平方和达到最小值。 

由最小二乘原理，可求得变形因子的估值为

其中， 

具体证明和计算过程不作赘述，可详见文献[6]。

计算得出的多元线性回归模型为0.4018-0.0338+0.6085，其模型拟合结果和精度如表（5）。

表5 多元线性回归模型拟合结果     

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
时段	0	17	33	46	60	75	89	130	144	159
实测	1.01	1.34	1.83	1.99	2.42	2.83	3.11	3.86	4.28	4.58
预测	1.01	1.31	1.70	2.09	2.48	2.87	3.26	3.66	4.06	4.46
残差	0	0.03	0.13	-0.10	-0.06	-0.04	-0.15	0.20	0.22	0.12

为了比较多元线性回归模型和非等间隔灰色GM（1，1）模型的符合精度，我们计算两种模型的残差平方和，即用最小二乘准则比较，分别为0.1684和0.5316。两种模型预测值与实测值的比较见图（1）。

 

图1 预测值与实测值比较

 

可以看出两模型的分析结果相差不多，但是回归分析需要大量的观测数据为基础才能达到一定的精度，现在仅用8期建模显然不合理，而灰色GM（1，1）模型本身就是“贫数据”系统分析，本例用较少的数据达到一级精度，可见非等间隔灰色GM（1，1）模型用于沉降数据的分析是正确和有效的。

 

5 结论

灰色GM（1，1）模型方法具有理论性强、实用性高、计算简便等优点，已广泛应用于科学研究和各类工程实践。由本文的工程计算实例可以看出，利用非等间隔灰色GM（1，1）模型进行电厂建筑物沉降观测的成果分析，通过建立的累积沉降预测模型，可以获得良好的沉降预测结果，非常适用于电厂高层建筑物的沉降分析，对小子样离散数列的趋势性变形分析具有较好的预测效果，为建筑物的安全评判、防灾减灾提供可靠的数据依据。

 

参考文献

[1] 邓聚龙.灰色预测决策[M].武汉：华中理工大学出版社,1988

[2] 陈永奇,吴子安,吴中如.变形监测分析与预报[M].北京：测绘出版社,2003

[3] 黄声享,尹辉,蒋征.变形监测数据处理[M].武汉：武汉大学出版社,2003

[4] 陈伟清.灰色预测在建筑物沉降变形分析中的应用[J].测绘科学,2005,30（5）:43-45

[5] 李斌,朱健.非等间距灰色GM（1，1）模型在沉降数据分析中的应用[J].测绘科学,2007,32（4）:52-55

[6] 封建湖,车刚明,聂玉峰.数值分析原理[M].北京：科学出版社,2001

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